Il progetto culturale di questo Corso di Dottorato coniuga una formazione teorica specialistica nell’ambito delle scienze matematiche con l’applicazione di approcci metodologici propri della Matematica e della Statistica alla trattazione di problemi posti dalle scienze applicate.
L’obiettivo è formare figure professionali di elevata qualificazione, capaci di svolgere attività di ricerca sia in ambito accademico (ad esempio, nel contesto delle scienze di base, dell’ingegneria, dell’architettura, dell’urbanistica, dell’economia, della finanza e della biomedicina) sia in ambito aziendale/industriale (ad esempio, nel contesto delle bio e nanotecnologie, dell’industria farmaceutica, della sanità, delle amministrazioni).
Il Corso di Dottorato in Scienze Matematiche nasce da una duplice consapevolezza: da un lato, il fatto che una formazione matematica di alto livello sia fondamentale per trattare con il giusto rigore metodologico problemi sia teorici sia applicati; dall’altro, il fatto che la Matematica rivesta un ruolo chiave sempre maggiore nelle realtà ingegneristiche e tecnologiche d’avanguardia, le quali sono sempre di più interdisciplinari e fonte di nuovi problemi ad alto potenziale di interesse per le Scienze Matematiche.
Le attività di formazione e ricerca spaziano tra le seguenti aree tematiche principali:
ALGEBRA E GEOMETRIA
- Crittografia e teoria dei numeri. Crittografia e Teoria dei Numeri con particolare attenzione alle equazioni Diofantee, le frazioni continue, le sequenze lineari ricorrenti, le azioni di gruppo, i generatori di numeri pseudo-casuali, le firme digitali, la crittoanalisi e le applicazioni crittografiche alla blockchain.
- Geometria e topologia. Studio degli aspetti algebrici, differenziali, computazionali e applicativi della Geometria e della Topologia, con particolare attenzione a varietà proiettive, tensori, fibrati vettoriali, teoria delle sottovarietà, flussi geometrici e geometria delle EDP e agli aspetti topologici dell'intelligenza artificiale.
ANALISI MATEMATICA
- Analisi di sistemi dinamici. Analisi e controllo di dinamiche di network, con applicazioni ai sistemi ingegneristici, economici, finanziari e biologici; studio di sistemi di giocatori multi-agente con strategie: risultati di buona positura, limiti di campo medio e loro formulazione stocastica.
- Analisi armonica e funzionale. Studio di disuguaglianze funzionali, integrali singolari e calcoli funzionali per laplaciani e sublaplaciani su varietà, gruppi e grafi.
- Modelli variazionali e EDP. Studio delle proprietà variazionali di grafi quantistici non lineari e ibridi con struttura geometrica, al fine di modellare dispositivi quantistici per applicazioni nell'atomtronica e in altre tecnologie quantistiche; studio dei principi di indeterminazione per le trasformate di Fourier che emergono in analisi armonica e complessa e in fisica matematica, da una prospettiva di teoria della misura e variazionale; teoria della regolarità per soluzioni di EDP paraboliche pesate e applicazioni; studio di modelli variazionali per la meccanica dei continui, con particolari applicazioni a membrane e strutture sottili.
ANALISI NUMERICA
- EDP in domini illimitati. Metodologie numeriche innovative ed efficienti per la risoluzione di EDP in domini illimitati, con particolare focus sull'accoppiamento tra metodi degli elementi virtuali e degli elementi al contorno, e sua applicazione a problemi di propagazione di onde.
- Simulazione di problemi multiscala accoppiati. Trattazione numerica di problemi accoppiati multi-scala in domini complessi tramite tecniche innovative di decomposizione dei domini e discretizzazioni su mesh poligonali/poliedriche.
- Metodi numerici per EDP ad elevata complessità. Strategie per ottimizzare e accelerare la risoluzione numerica di modelli governati da EDP caratterizzati da elevata complessità: "Physics Informed Neural Networks", "Model Order Reduction" e tecniche di "High Performance Computing".
FISICA MATEMATICA
- Metodi matematici per sistemi multi-agente. Modelli ad agenti – sistemi particellari stocastici e loro limiti continui, algoritmi di simulazione Monte Carlo; modelli continui – equazioni differenziali, integro-differenziali, cinetiche collisionali, caratterizzazione qualitativa delle loro soluzioni, limiti idrodinamici, descrizioni asintotiche, simulazioni numeriche; applicazioni alla biologia, ecologia, medicina, econofisica, sociofisica.
- Meccanica dei continui. Modelli matematici per la biologia e la medicina; Meccanica dei fluidi, dei solidi e della crescita, biomeccanica, meccanobiologia, morfoelasticità; controllo di micro-nuotatori, applicazioni alla bio-medicina (per esempio, crescita tumorale, angiogenesi, migrazione cellulare, risposta meccanica dei tessuti); metodi variazionali e di geometria differenziale in meccanica dei continui; sistemi anolonomi e loro controllo; modelli matematici per metamateriali, materiali del secondo ordine e con derivate frazionarie; modelli matematici e meccanici di migrazione cellulare; modelli biomimetici per problemi di ottimizzazione non convessa.
- Meccanica statistica del disequilibrio. Modelli di fenomeni di trasporto anomalo di materia, energia ecc.; teoria della risposta (perturbativa ed esatta) di sistemi soggetti a perturbazioni, per fenomeni descritti da sistemi dinamici o da processi stocastici; applicazioni fisiche (per esempio, universalità e transizioni di fase fuori dall'equilibrio), biologiche (per esempio, dinamica di popolazioni anche batteriche), nanotecnologiche (per esempio, sensori e trasporto in nanotubi), climatiche e ambientali (per esempio, caratterizzazioni delle fluttuazioni della temperatura terrestre, nel tempo e nello spazio).
PROBABILITÀ E STATISTICA MATEMATICA, RICERCA OPERATIVA
- Probabilità. Processi stocastici, modelli di dipendenza ed applicazioni in biologia e finanza. Le applicazioni in biologia si focalizzano sullo studio dei reaction network, sul loro regime stazionario, sui modelli multiscala e su estensioni della teoria motivate da applicazioni biochimiche; le applicazioni finanziarie, invece, studiano i modelli di prezzo per derivati definiti su più titoli e sui modelli ed il confronto stocastico tra portafogli di titoli tra loro dipendenti.
- Statistica. Statistica metodologica e il suo ruolo fondamentale nella raccolta, analisi e interpretazione dei dati. La statistica come uno dei pilastri della data science e del machine learning. Modellizzazione gerarchica e statistica bayesiana per la cattura di complesse relazioni e interdipendenze tra le variabili. Applicazioni in biologia, statistica ambientale, genetica, prove cliniche e piano degli esperimenti.
- Ricerca operativa. Costruzione di modelli e algoritmi di ottimizzazione per un ampio spettro di applicazioni, che include marketing, logistica, gestione della produzione e progetto di sistemi. I metodi applicati includono: ottimizzazione stocastica e robusta; programmazione dinamica, reinforcement learning e ottimizzazione basata sulla simulazione; mateuristiche per l'ottimizzazione combinatoria, eventualmente integrate con tecniche di machine learning.
Grazie all’interazione tra gli aspetti teorico-fondazionali e quelli applicativi della ricerca in Matematica e Statistica, il Corso di Dottorato in Scienze Matematiche fornisce una formazione volta a creare approcci di ricerca innovativi. Questi ultimi sono essenziali per dare adeguato sostegno ai processi di innovazione e trasferimento tecnologico, i quali richiedono sempre più insistentemente lo sviluppo di approcci teorico-metodologici originali atti ad affrontare le sfide di gestione della complessità poste dalla continua evoluzione dei paradigmi socioeconomici.